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2017/01/28

直交射影行列

射影行列:P^2=Pになる行列
直交射影行列: P^t=Pになる射影行列
補直交射影行列(正式な名称不明): Q=I-P (Pは直交射影行列) であるとき,Qも直交射影行列


ベクトルxに対してPxとQxは直交する
ベクトルxはPx+Qxと分解できる


射影行列の逆行列は存在しない
イメージとしては射影によって失われるデータがあるから(データが失われることをかっこよく言うと,「非自明なカーネルが存在する」となる)
http://math.stackexchange.com/questions/229223/is-a-projector-matrix-the-inverse-of-itself

逆行列は存在しないが,元のデータをなるべく再現するような行列をどうにかして見つけられば嬉しい.
→ 主成分分析,オートエンコーダ(自己符号化器)に繋がりそう


また,射影行列=次元が削減される行列→固有方程式に繋がりそう

固有方程式で出てくる(A-λI)という行列による線形写像の挙動は,特定のλにおいて写像後のデータの次元が落ちる(特定のλがつまり固有値) = (A-λI)が射影行列である = 逆行列が存在しない = 行列式が0 = 固有方程式になる.

気になること:固有値を発見した昔の人は(A-λI)という行列にどうやってたどり着いたのだろうか?