楕円フィッティング

地磁気センサや加速度センサのキャリブレーションのために、与えられたデータセットに対して最もフィットする楕円を知りたくなることがある。 そこで、最小二乗法を用いて楕円パラメータを推定することを考える。 このとき、楕円とデータセットの残差をどのように定義すればよいか？という問題に直面した。 結論としては、各データと、フィッティング楕円のマハラノビスノルムの差を残差として定義し、最小化すれば最尤楕円が求まることが分かった。

本ノートはそのメモである。

直交射影行列

射影行列：P^2=Pになる行列
直交射影行列： P^t=Pになる射影行列

補直交射影行列(正式な名称不明)： Q=I-P (Pは直交射影行列)　であるとき，Qも直交射影行列

二次形式の極値問題とレイリー商

レイリー商という便利な概念があるっぽい

http://kensuke-mi.hatenablog.com/entry/20121108/1352352860

http://d.hatena.ne.jp/Zellij/20140818/p1

レイリー商の最大値，最小値と，二次形式の表現行列の固有値との間に関係がある．

二次形式と固有値って聞くと，C-LAMBDA法に共分散のSVD分解を使ってアンビギュイティ候補の範囲を絞り込んでいるイメージがある．
何か関係するのだろうか．

転置行列の図形的解釈

転置行列も幾何学的に解釈できるらしい．
よくわからなかったけど．

http://wiki.fdiary.net/lacs/?c=src;p=Transpose

数値微分と非線形最小二乗法(ニュートン法)

数値微分という便利なテクニックを仕入れたので試してみた．

ついでにいつかやろうと思っていた非線形最小二乗法(ニュートン法)も解説

ノート形式
http://nbviewer.jupyter.org/github/Akehi/IpythonNotes/blob/master/KnowledgeBox/NumericalDiff_LSENonLiner.ipynb

プレゼン形式
http://nbviewer.jupyter.org/format/slides/github/Akehi/IpythonNotes/blob/master/KnowledgeBox/NumericalDiff_LSENonLiner.ipynb#/

大学レベル以上の線形代数を知りたい

線形代数の教科書・参考書はだいたい大学のカリキュラムで習うこと以上のことは書いていない(だいたいジョルダン標準形までやって終わり)

でも実際の研究では，行列を分解して性質を見たいとか，反復計算によって特定の性質をもつ行列を作りたいとか，計算安定性を知りたいとか，色々知りたいことがある．
何か困ったときにこの本を見るとだいたい書いてありそうな雰囲気が醸し出されている．
(あまり困ったことないから全然読んでないけど)

http://web.mit.edu/ehliu/Public/sclark/Golub%20G.H.,%20Van%20Loan%20C.F.-%20Matrix%20Computations.pdf

LAMBDA法解説

RTK測位のLAMBDA法を解説

随時更新中

ノート
http://nbviewer.jupyter.org/github/Akehi/IpythonNotes/blob/master/LAMBDA/LAMBDA.ipynb

プレゼン
http://nbviewer.jupyter.org/format/slides/github/Akehi/IpythonNotes/blob/master/LAMBDA/LAMBDA.ipynb#/

楕円体の描画ライブラリ

共分散行列から誤差楕円を描画したいときが結構多い．
そこで，楕円描画が捗るようなライブラリを作成．

できること．
・共分散行列の逆行列入力 → plot(x,y)で誤差楕円が描画できるようなx,y出力
・多次元共分散行列の逆行列入力→plot(x,y)で任意の平面に射影した誤差楕円が描画できるようなx,y出力

ソース
https://github.com/Akehi/pylib/blob/master/elipsoid.py

ドキュメント
ノート形式
http://nbviewer.jupyter.org/github/Akehi/pylib/blob/master/elipsoid.ipynb

プレゼン形式
http://nbviewer.jupyter.org/format/slides/github/Akehi/pylib/blob/master/elipsoid.ipynb#/

楕円体の正射影

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/njigen1.htm

n次元楕円体を二次元平面に正射影する方法．
非常に役に立つので．ノート作成予定．

n行n列の共分散行列Qが与えられたときに，Qinvを使って得られるマハラノビス距離がconst.であるような楕円体の形状が可視化できれば，共分散行列がどんな情報を持っているかが分かりやすくなる．
例えばデータiとjの間に相関はほとんどないけどi,kにはある．みたいな

ブロック行列

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%BA%E5%88%86%E8%A1%8C%E5%88%97

http://www.singularpoint.org/blog/math/block-matrix-linear-algebr/

区分行列、ブロック行列
通常の積と同じように計算可能


理工系基礎　線形代数学，渡邉芳英，他，培風館 P.29に詳しい
B=[b1,b2,b3,...]と列ベクトルを並べた形式にしたらAB=[Ab1,Ab2,Ab3,...]になる